Auf dem rauen Pfad der Mathematik

Die Theorie der „Rough Paths“ sorgte für einige Verwunderung,  bevor die Gemeinschaft der Mathematiker ihr volles Potential erkannte – heute ist sie ein Gebiet mit spektakulären Entwicklungen. Prof. Peter K. Friz vom Weierstraß-Institut (WIAS) und der TU Berlin hat für seine Forschungen in diesem Bereich erneut einen ERC Award bekommen.

So manchem Schüler erscheint die Mathematik wie ein steiniger Pfad. Und auch Prof. Peter Friz sieht raue Pfade in der Mathematik. Aber nicht aus einer Abneigung gegenüber dem Fach, sondern er ist fasziniert von „Rough Paths“ (rauen Pfaden), einer Theorie, die aus numerischen Verfahren für Differentialgleichungen hervorging und nun eine ganz neue Brücke zwischen Analysis und Stochastik schlägt.

Peter Friz hat nun – nach einem ERC Starting Grant im Jahr 2010 – seine nächste Auszeichnung vom European Research Council erhalten, einen mit 1,5 Mio EUR dotierten ERC Consolidator Grant.

Zum wissenschaftlichen Hintergrund erklärt Friz: „Die Stochastische Analysis gehört zu den großen Erfolgsgeschichten der Mathematik im 20. Jahrhundert. Ein zentrales Objekt dabei ist die Brown‘sche Bewegung, ein stochastischer Prozess, dessen Rauheit keinen klassischen Kalkül erlaubt. Dies führte auf einen komplett wahrscheinlichkeitstheoretischen Zugang: der resultierende Ito-Kalkül ist heute unerlässlich in der angewandten Mathematik und der Modellierung von Zufälligkeit und Rauschen.“ Die Wurzeln dafür liegen in Berlin: „Das Verständnis rauer Pfade geht eigentlich auf Weierstraß zurück, der als Erster eine stetige, nirgends differenzierbare Funktion konstruierte – in vielerlei Hinsicht der Prototyp eines typischen Brown'schen Pfades.“

Es zeigte sich aber ein Problem mit der Robustheit der wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden, erläutert Friz: „Anders als im Gebiet der Analysis kann man in der Stochastischen Analysis ein Rauschen nicht festhalten und dann deterministisch analysieren. In konkreten Anwendungen, z.B. der Filtertheorie, wäre dies aber wünschenswert, sodass ähnliche Beobachtungen auch zu ähnlichen Vorhersagen führen.“ Es fanden sich Beispiele, bei denen das nicht funktionierte. „Die spektakuläre Wendung brachte der Mathematiker Terry Lyons aus Oxford in den 90er Jahren. Er erkannte, dass man die Gegenbeispiele nicht umgehen kann, und hat aus Feinden Verbündete gemacht.“ Lyons akzeptierte das einfachste Gegenbeispiel, bei dem die Vorhersage nicht stetig vom Rauschen abhängt, als Input wie eine Art zusätzliches Rauschen. Damit bekam er die Stabilität zurück. Auf einmal wurde die Stochastische Analysis zu einem Gebiet der Analysis, und damit potenziell mit Methoden behandelbar, die auch Weierstraß schon kannte. Der Preis dafür: Das Rauschen nimmt nicht mehr Werte in einem elementar verständlichen Raum an, sondern man muss auf einen größeren Raum übergehen, der eine reiche geometrische  und algebraische Struktur besitzt.  Peter Friz berichtet weiter: „Die Entwicklung in den letzten zehn Jahren war spektakulär. Dabei sorgte die Theorie am Anfang noch für Verwunderung und auch Ablehnung in der Community, stand sie doch allen bisherigen Denkansätzen entgegen.“

Heute ist diese Theorie eines der vielversprechendsten Forschungsgebiete der Mathematik, insbesondere im Bereich der nicht-linearen stochastischen partiellen Differentialgleichungen. Im Rahmen seines neuen ERC-Projektes „Geometric aspects in pathwise stochastic analysis and related topics“ wird Friz diese Methoden nun in verschiedensten Situationen – u.a. auch im Zusammenhang mit finanzmathematischen Fragestellungen – weiter untersuchen.

Seine Berufung an die TU Berlin im Jahr 2009 erfolgte in Kooperation mit dem Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Berlin. Zuvor war er an der Cambridge University in Großbritannien tätig. Im Dezember 2015 ist nicht nur das ERC-Projekt bewilligt worden, es kam auch die Zusage für eine DFG-Forschergruppe („Rough paths and stochastic partial differential equations“), bei der das WIAS zentral eingebunden ist.

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